Une application \(f\) est dite linéaire ssi \(f(\lambda u + v) = \lambda f(u) + f(v)\).
L'ensemble des applications linéaire de \(E\) vers \(F\) se note \(\mathcal{L}(E, F)\).
Si \(f\) est définie de \(E\) vers \(E\) , on l'appel un endomorphisme. L'ensemble des endomorphismes est noté \(\mathcal{L}(E)\)
Si \(f\) est bijective, on l'appel un isomorphisme.
Un automorphisme est a la fois un endomorphisme et un isomorphisme.

L'ensemble de tous les automorphismes dans \(E\) est noté \(GL(E)\)

Operations

Soient \(f\) et \(g\) deux applications linéaires, alors \((\alpha f + g)\) est une application linéaire.
De plus \(f \circ g\) est une application linéaire.
Si \(f\) est un isomorphisme, on note \(f^{-1}\) son isomorphisme réciproque.

Image et noyau

L'image d'une application linéaire par un ensemble est l'ensemble de toutes les valeurs atteinte par l'application depuis cet ensemble. En language mathématique on écrit :
\[ Im(f) = \{f(u), u \in E \} = f(E) \]
Le noyau est l'ensemble des valeurs qui, donné a une application, retourne l'élément neutre.
\[ Ker(f) = \{u, u \in E, f(u) = 0\} = f^{-1} (\{0_F \}) \]

On a que \(Im(f)\) est un SEV de \(F\) et \(Ker(f)\) est un SEV de \(E\).

1. \(f\) est injective ssi \(Ker(f) = \{0_E\}\)

2. \(f\) est surjective ssi \(Im(f) = F\)

3. \(f\) est un isomorphisme ssi \(Ker(f) = \{0_E\}\) et \(Im(f) = F\)

Applications Linéaires Particulières

• Une homothétie est une multiplication par un scalaire.
• Une projection envoies les éléments de deux SEV complémentaires sur un seul.
• Une symétrie est une symétrie par rapport a l'un de deux SEV complémentaires.

On a qu'une projection est idempotent. Tout endomorphisme idempotent est une projection.
Si \(p\) est une projection de \(E\), alors \(E = Ker(p) \oplus Im(p)\)

Une symétrie est une involution (\(s \circ s = Id_E\)). On a aussi \(s^{-1} = s\).

Théorème du rang

\[ dim(E) = dim(Ker(f)) + rg(f) \]

Représentation matricielle

Il est commun de représenter les applications linéaires par des matrices. En effet, la multiplication matricielle de représenter les applications linéaires. De plus, si la matrice associé a une application est inversible, alors cette application est bijective.

Multi-linéarité

Soit une application \(f\) de \(E\) dans \(F\), avec \(E\) une ensemble de n-uplets. On dit que \(f\) est multilinéaire ssi :
\[ f(\mu x_1, \lambda x_2 ... x_n) = \mu \lambda f(x_1, x_2,..., x_n) \]